Ritt 算子在 $L^1$ 空间上的平方函数与变分估计

设 $T$ 为一个有界算子。若 $\sup_n n\lVert T^n-T^{n+1}\rVert<\infty$，则称 $T$ 为 Ritt 算子。已知当 $T$ 为正约束且在 $L^p$ 中为 Ritt 算子时，$1<p<\infty$，则对任意整数 $m\ge 1$，平方函数\n\n$$n\Big( \sum_n n^{2m-1} |T^n(I-T)^{m}f|^2 \Big)^{1/2}$$ \n\n在 $L^p$ 中定义了一个有界算子。本文将理论推广到端点情形 $p=1$，证明若 $T$ 为 $L^1$ 上的 Ritt 算子，则广义平方函数\n\n$$Q_{\alpha,s,m}f=\Big( \sum_n n^{\alpha} |T^n(I-T)^mf|^s \Big)^{1/s}$$ \n\n当 $\alpha+1<sm$ 时，在 $L^1$ 上为有界算子。在具体情形下，当 $T$ 为形如 $T_{\mu}=\sum_k \mu(k) U^kf$ 的卷积算子，其中 $\mu$ 为 $\mathbb Z$ 上的概率测度，$U$ 为由单射、ergodic、保测度变换诱导的组成算子时，给出 $\mu$ 的充分条件，使得平方函数 $Q_{2m-1,2,m}$ 在所有整数 $m\ge 1$ 时为弱类型 (1,1)。我们还建立了变分范数和振荡范数的界，$\lVert n^{\beta} T^n(1-T)^r\rVert_{v(s)}$ 和$\lVert n^{\beta} T^n(1-T)^r\rVert_{o(s)}$，揭示端点行为。