量子神经网络算子的非交换Voronovskaya定理

我们证明了量子神经网络算子在逼近任意量子信道时的完整渐近展开。这是经典 Voronovskaya 定理的非交换类似物。该展开表明，逼近误差分为三个根本不同的部分：涉及普通 Fr\'echet 导数的 $1/n$ 的整数幂；由 Marchaud 分数阶导数控制的分数幂，它捕捉信道的 H\"older 光滑性；以及没有经典对应物的纯量子交换子项。余项被一个显式常数尖锐地界定：$$\norm{R_{m,n}(\Phi,\bullet)}_\diamond \le C_{m,\gamma,d} \|\Phi\|_{\cC^{m,\gamma}} \, n^{-(m+\gamma)} (\log n)^{3m/2}.$$ 我们提出了一个经典类似物的数值测试，证实了预测的收敛速率和对数修正，直接验证了渐近理论。基于此展开，我们获得了三个重大进展：量子神经网络算子涨落的量子中心极限定理，通过 Kubo-Ando 均值构造量子信道间最优插值测地线的方法，以及对分数阶光滑性如何限制量子神经网络逼近加速的系统理解。数值测试进一步表明理论速率是尖锐的，并且对数增强是不可避免的。总而言之，我们的工作在经典逼近论、分数阶微积分和量子机器学习之间建立了严格的桥梁，为设计和分析有限维量子神经网络提供了理论见解和实用工具。