基于ALAP调度的分块Cholesky分解调度完工时间下界

由于多核架构和大规模并行的出现，分块Cholesky分解算法近年来备受关注，常被从业者作为案例研究引用。它也在主流稠密线性代数库中实现。然而，我们注意到该算法并行性的理论研究目前匮乏。本文中，我们在无通信开销的并行同构模型背景下，给出关于分块Cholesky分解的新理论结果。我们对任务使用基于flop的权重。对于$t\times t$矩阵，我们知道分块Cholesky算法的关键路径为$9t-10$，且所有任务的权重为$t^3$。在此背景下，我们证明少于$0.185 t^2$个处理单元的调度无法在短于关键路径的时间内完成。作为对比，朴素下界给出$0.11 t^2$。接着我们给出一种调度，其需要少于$0.25 t^2+0.16t+3$个处理单元以在关键路径时间内完成。作为对比，朴素调度给出$0.50 t^2$。此外，给定固定数量处理单元$p$，我们给出执行时间的下界如下：$$\max( \frac{t^{3}}{p}, \frac{t^{3}}{p} - 3\frac{t^2}{p} + 6\sqrt{2p} - 7 , 9t-10).$$ 后一公式的趣处在于中间项。我们的结果源于如下观察：当我们用ALAP(尽可能晚)启发式而非ASAP(尽可能早)启发式调度分块Cholesky分解时，其行为表现好得多。我们还提供密切匹配执行时间下界的调度启发式。我们相信理论结果将有助于实际调度研究。确实，我们的结果能更好地刻画实际调度相对于最优调度的质量。