测度集中现象的推广及其在交集问题中的应用

在本文中，我们证明了离散立方体中测度集中现象的推广。在这种设置下，测度集中现象表明，对于离散立方体的每个子集$\mathcal{A}$，其与适当大半径$r$的Hamming球的求和——或等价地，其$r$-扩张——导致测度的显著增加。我们为离散立方体$\{0,1\}^n$的子集定义了“$(\gamma,C)$-良好散布”的概念，使得以下结论成立：对于所有$\epsilon$，存在常数$\gamma$和$C$，使得对于每个满足$|\mathcal{A}| \geq \epsilon2^n$的$\mathcal{A}$和每个$(\gamma,C)$-良好散布的$S$，$|\mathcal{A} + S|$至少为$(1-\epsilon)2^n$。我们使用这个结果来证明两个交集问题的新的非平凡上界：可以从$[n]$或$[\binom{n}{2}]$中取多少个子集（或子图），使得每对的交集包含某个给定的子结构？我们证明了$C_4$-交集问题和$4$-AP-交集问题的非平凡上界。我们还给出了当边数和$k$趋于无穷大时，$H$-交集问题和$k$-AP-交集问题的趋于$0$的上界。此前，非平凡上界仅对非二分图$H$已知，而对于$k$-AP-交集问题则一无所知。