$T_0$-空间忠实无点表示的一般框架

我们引入了一个一般框架来研究自然的反变伴随，这些伴随细化了 frame 与空间之间的伴随，使得不动点是 $T_0$-空间。我们的研究对象是 \textit{可空间化的 $\mathbf{Frm}$-具体范畴}，或 \textit{SFC-范畴}。这些范畴由一个忠实函子 $\mathcal O:\mathcal C\to \mathbf{Frm}$ 以及一个对象 $2_{\mathcal C} \in \mathcal C$ 组成，满足相容性条件，确保 $(2_{\mathcal C},\mathbb{S})$ 在 Porst 和 Tholen 的意义上构成一个对偶化对象，其中 $\mathbb{S}$ 表示 Sierpi\'nski 空间。文献中存在的三个重要的无点 $T_0$ 空间实例符合这个框架：严格零维双 frame、MT-代数和 Raney 扩张。我们证明了 SFC-范畴组装在一个有序范畴中——一个在预序集中丰富的范畴——其态射是保持某些初始提升的合适函子。SFC-范畴诱导自然的对偶伴随，它们之间的态射将分别诱导这些伴随之间的合适态射。受 Banaschewski 和 Pultr 将 sober 空间刻画为 $\Omega:\mathbf{Top}\to \mathbf{Frm}^{\mathsf{op}}$ 纤维中的极大对象，以及将 $T_D$-空间刻画为极小对象的启发，我们研究了任意 SFC-范畴的纤维的初始和终对象。我们证明了纤维-初始对象的自然伴随恰好具有 sober 空间作为不动点，而纤维-终对象的自然伴随最多包含 $T_D$-空间，在一个更一般的背景下恢复了他们的结果。