欧几里得空间粗分离的有限方法

我们给出了一个新颖的证明，证明欧几里得空间 $\mathbb{R}^{d}$ 的子集的每个粗分离族必须具有至少 $d-1$ 的渐近维数。该证明仅使用奇异同调/上同调和代数拓扑的标准事实，如 Alexander 对偶性。我们首先将问题简化为其有限版本。使用我们的方法，可以立即得出 $d$ 维欧几里得建筑或 $d$ 个测地、测地完备度量空间的乘积的子集的每个粗分离族具有至少 $d-1$ 的渐近维数。作为推论，我们获得了欧几里得空间粗嵌入到某些图群基本群中的障碍。