求解鸽巢等和问题的更快算法

精确算法领域的一个重要研究方向是求解比中间相遇法更快的子集和型问题。在本文中，我们研究鸽巢等和问题，这是 Papadimitriou (1994) 提出的一个全搜索问题：给定 $n$ 个正整数 $w_1,\dots,w_n$，其总和 $\sum_{i=1}^n w_i < 2^n-1$，任务是找到两个不同的子集 $A, B \subseteq [n]$ 使得 $\sum_{i\in A}w_i=\sum_{i\in B}w_i$。与子集和问题的现状类似，鸽巢等和问题已知最好的算法通过中间相遇法或动态规划在 $O^*(2^{n/2})$ 时间内运行（Allcock, Hamoudi, Joux, Klingelh"{o}fer, 和 Santha, 2022）。我们的主要成果是改进了鸽巢等和问题的算法，使其在 $O^*(2^{0.4n})$ 时间内运行。我们还给出了一个在 $O^*(2^{0.75n})$ 时间内运行的多项式空间算法。与该领域的许多先前工作不同，我们的方法不使用表示法，而是利用了对解数量较少的输入实例的简单结构刻画。