利用Halley法与谱混沌方法快速收敛求解随机特征值问题

求解随机特征值问题长期以来对于明智决策、推进科学知识以及确保工程设计和应用的可靠性至关重要。本文强调了持续改进现有数值方法以求解随机特征值问题的必要性，旨在提高收敛速度、计算效率和鲁棒性。具体而言，我们提出了一种新的谱混沌方法来求解随机（线性）特征值问题，采用Halley法作为求根算法，以利用其三次收敛特性。我们的方法在求解随机特征值问题时实现了最大收敛，因为由于所得方程组的二次性质，使用更高阶的Householder方法无法进一步提高其收敛速度。此外，鉴于所得方程组的复杂性，我们开发了一种张量方法来应对与随机特征值问题维度多重性相关的挑战，若无此方法，该问题将难以处理。该方法经过严格推导，并附有详细的误差分析，突显了当特征向量分量近乎已知时采用我们方法的优势；同时严格给出了该方法的计算成本，并提供了一个说明性示例来演示该方法的实现。随后，通过一个案例研究来分析结果，并验证使用Halley法相较于Newton法和蒙特卡洛模拟的优势。