二元线性码的分解理论

由 Paul Seymour 在 1980 年代开创的拟阵分解理论对拟阵理论研究产生了巨大影响。当该理论应用于二元域上的矩阵时,便产生了一种强有力的二元线性码分解理论。在本文中,我们概述了这一码分解理论,并讨论了其在近期发现的将离散无记忆信道上二元线性码的最大似然(ML)译码表述为线性规划问题的背景下的若干启示。我们将 Grötschel 和 Truemper 从组合优化文献中得到的拟阵理论结果进行转译,给出一些非平凡码族的例子,对于这些码族,ML 译码问题可在关于码长的多项式时间内求解。其中一个这样的码族由满足码字多胞形与由整个对偶码 $C^\perp$ 导出的 Koetter-Vontobel 基本多胞形完全相同的码 $C$ 组成。然而,我们也表明此类码族在编码理论意义上并非好码——它们的维数或最小距离必随码长亚线性增长。因此,我们得出:当应用于好码时,通过线性规划进行译码无法避免由于伪码字的存在而偶尔失败。