冯·诺依曼不完全张量积上的一个完备超度量

我们重新审视了希尔伯特空间无限张量积的冯·诺依曼理论。在标记完全张量积内不完全张量积的$C_0$-序列等价类集合$\Gamma$上，我们引入了一个自然的伪超度量$d$：两个类之间的距离是由任意一对代表元构成的级数$\sum_j|\langle\varphi_j,\psi_j\rangle-1|$的收敛指数。我们证明了$d$在等价类上定义良好，满足强三角不等式，并且是完备的。不同的类可能距离为零，因此$d$只有在通过关系$d=0$传递到商集$\widetilde\Gamma$之后才能分离点；此时$(\widetilde\Gamma,d)$是一个完备超度量空间。作为一个应用，我们证明了如果乘积酉算子$\bigotimes_j U$的因子$U$满足$\inf_{\|x\|=1}|\langle x,Ux\rangle-1|>0$（特别是，有限维空间上满足$1\notin\sigma(U)$的酉算子），则它会将每个类移动到最大距离1。在预期应用——Everett分支的漫画化，其中无限张量积的扇区扮演世界的角色——的指导下，我们还发展了一个基于冯·诺依曼弱等价并与准局域代数上乘积态的准等价相匹配的度量规范不变变体$\tilde d$。由$\tilde d$测量的类在乘积酉算子下的位移是类依赖的，并实现了$[0,1]$中的每一个值。我们将$\tilde d$解释为退相干指数：它测量了随着环境越来越大的部分被监测，宇宙状态向量的两个分支变得在操作上不同的多项式速率。