至多 $2d+7$ 个顶点的离散 $d$-伪流形的完全分类

一个简单无向图 $M$ 被称为离散 $d$-伪流形，如果对于每个顶点 $v$，由 $v$ 的邻居诱导的子图 $N_M(v)$ 是离散 $(d-1)$-伪流形，其中离散 $1$-伪流形被定义为 $n\geq 4$ 的 $n$-圈。这些对象自然地作为单纯伪流形的图论类比出现，并通过局部邻域条件为研究类流形结构提供了一个纯组合框架。因此，理解具有少量顶点的离散伪流形是组合拓扑和极值图论中的一个基本问题。在本文中，我们首先证明每个离散 $d$-伪流形至少有 $2(d+1)$ 个顶点。然后，我们通过确定所有可能的组合类型，提供了至多 $2d+6$ 个顶点的离散 $d$-伪流形的完全分类。进一步，我们建立了离散 $d$-伪流形与旗正规 $d$-伪流形的边图之间的等价性。作为推论，我们推导出至多 $2d+6$ 个顶点的旗正规 $d$-伪流形的纯组合刻画，并证明每个这样的复形都是单纯 $d$-球面。最后，我们通过在 $2d+7$ 个顶点上构造非球面的例子，证明了该球面刻画在旗正规 $d$-伪流形类中是最优的。具体来说，我们证明对于 $d\geq 3$，每个至多 $2d+7$ 个顶点的旗正规 $d$-伪流形要么是单纯 $d$-球面，要么是 $\mathbb{RP}^{2}$ 的 $(d-2)$-重双锥的旗三角剖分。