量子态球面上的指南针：任意纯态优化的Hopf拟设

优化任意量子态矢量就像在希尔伯特空间的单位球面上导航：除了目标可达性之外，优化还需要坐标、局部距离信息和可测量的方向。我们引入了Hopf拟设，这是一种用于任意归一化实数和复数态矢量的二叉树电路。内部角度控制子树之间的概率，叶相位承载复数自由度，同一棵树既提供态制备，也提供从振幅到物理角度的显式逆映射。这些结构共同充当搜索的指南针：逆映射提供坐标，对角诱导度量提供局部距离信息，非零坐标切线成为可制备的归一化态。对于哈密顿量目标，以及具有相同局部跃迁矩形式的目标，每个梯度分量都是一个已知比例因子乘以当前态与切线态之间的跃迁矩。分支态构造通过期望值测量来表达这些矩，而树则按幅度层和叶索引相位族组织编译后的梯度设置。因此，不同编译梯度访问电路族的数量仅随希尔伯特空间维度对数增长，而达到选定精度所需的测量预算则是一个独立的统计成本。在具有精确成本、精确梯度和已知全局最优解的确定性实态基准测试中，度量感知的Hopf优化器达到了数值精度的中位数差距，在较小的VQE平均最终差距和更强的计量学启发轨迹在数值精度上的集中方面，基线改进最为明显。Hopf拟设将通用态制备转变为任意纯态优化的可导航框架。