条件查询下恒等性检验与等价性检验之间的鸿沟

最近提出的一种概率分布属性测试模型 (Chakraborty 等人，ITCS 2013; Canonne 等人，SICOMP 2015) 通过允许算法对域的子集进行条件采样，极大地节省了测试算法的样本复杂度。特别是，Canonne、Ron 和 Servedio (SICOMP 2015) 表明，在此设置下，测试未知分布 $D$ 的恒等性（即是否 $D=D^\ast$，其中 $D^\ast$ 为显式已知）可以用常数数量的查询完成，与支持大小 $n$ 无关——这与标准采样模型中所需的 $\Omega(\sqrt{n})$ 形成对比。目前尚不清楚在测试等价性（即两个分布均未知）的情况下是否存在同样鲜明的对比。虽然 Canonne 等人建立了等价性测试的 $\mathrm{poly}(\log n)$ 查询上界，最近 Falahatgar 等人 (COLT 2015) 将其降低至 $\tilde O(\log\log n)$，但是否需要依赖于域大小 $n$ 仍然是开放的，并由 Fischer 在次线性算法 Bertinoro 研讨会 (2014) 上明确提出。我们证明了在条件采样模型中，任何等价性测试算法必须进行 $\Omega(\sqrt{\log\log n})$ 次查询。这揭示了恒等性检验与等价性检验之间的差距，而在标准采样模型中这种差距是不存在的（在标准模型中这两个问题的采样复杂度均为 $n^{\Theta(1)}$）。我们还获得了关于均匀性测试和支持大小估计在条件采样下的查询复杂度的结果。我们回答了 Chakraborty 等人 (ITCS 2013) 提出的问题，表明非自适应均匀性测试在条件模型中确实需要 $\Omega(\log n)$ 次查询。对于相关的支持大小估计问题，我们提供了自适应和非自适应算法，其查询复杂度分别为 $\mathrm{poly}(\log\log n)$ 和 $\mathrm{poly}(\log n)$。