离散立方体上Talagrand猜想的Beckmann边界形式

我们引入了布尔函数的 Beckmann 边界 $$\mathsf{B}(f)=\inf_{\operatorname{div} V=Lf}\mathbb E\|V(x)\|_2.$$ 这里 $$L=\sum_iD_i,\qquad D_i f(x)=\frac{f(x)-f(x^{\oplus i})}{2},$$ 且 $\operatorname{div} V(x)=\sum_i (V_{i}(x)-V_{i}(x^{\oplus i}))$。这个非局部量不大于通常的双侧、单侧、着色、优化着色或优化分数着色边界。然而，每个非常数布尔函数 $f$ 满足 $$\mathsf{B}(f)\gtrsim \operatorname{Var}(f) \sqrt{\log\!\left(1+\frac{1}{\sum_i\operatorname{Inf}_i(f)^2}\right)}.$$ 我们还证明了强单侧分数谱估计。如果 $A\subset\{-1,1\}^n$ 且 $$h_{A}(x)=\#\{i:x\in A,\ x^{\oplus i}\notin A\},$$ 那么，对于 $0<\alpha<1$， $$\sum_{S\ne\varnothing}|S|^\alpha\widehat{\mathbf 1_{A}}(S)^2 \lesssim_\alpha \mathbb E\omega_\alpha(h_{A}),$$ 其中 $\omega_\alpha(m)=\sqrt m$ 对于 $\alpha<1/2$，$\omega_{1/2}(m)=\sqrt m\log(e+m)$，且 $\omega_\alpha(m)=m^\alpha$ 对于 $\alpha>1/2$。对于多数函数，这些轮廓是尖锐的，直到依赖于 $\alpha$ 的常数。我们还表明这种比较是真正不可逆的：一个显式的商立方体族使得优化分数边界，以及优化着色边界，超过 $\mathsf{B}$ 一个因子 $\gtrsim\sqrt{\log n}$。我们还得到了一个无漂移的 Bernstein 乘子不等式。