强次二次时间内的 $(5+ε)$-近似 Fréchet 距离

我们给出了随机化 $(5+\epsilon)$-近似算法，用于固定维度 $d$ 下 $\mathbb R^d$ 中任意两条多边形曲线 $\tau$ 和 $\sigma$ 的连续和离散 Fréchet 距离，它们分别有 $n$ 和 $m\le n$ 个顶点。我们用于连续 Fréchet 的算法运行时间为 $\widetilde O_{d,\epsilon}(n m^{8/9})$，用于离散 Fréchet 的算法运行时间为 $\widetilde O_{d,\epsilon}(n m^{4/5})$。这些界限改进了 Cheng、Huang 和 Zhang~\cite{cheng2025constant} 最近的强次二次常数因子近似算法，后者给出 $(7+\epsilon)$-近似。近似改进来自于通过辅助代理曲线直接证明长边界到边界的可达性，避免了转换回输入子曲线的额外步骤，从而消除了一个三角不等式损失。运行时间的改进来自于双尺度宏代理搜索与二元辅助传输结构的结合，其中离散情况通过离散自由空间图中的精确平面可达性获得了更快的界限。