大协方差矩阵估计中最优数据划分与持留交叉验证

交叉验证是一种可用于改进大协方差矩阵估计的统计工具。虽然其在实际应用中表现出效率，并且在高维情景下可获得对非线性收缩误差的收敛结果，但目前缺乏考虑有限样本效应的正式证明。为开展分析，我们聚焦于持留方法——交叉验证的单次迭代，而非传统的 $k$ 折方法。我们推导了当总体矩阵遵循白色逆 Wishart分布时的预期估计误差闭式表达式，并观察到最优的训练-测试划分规模随矩阵维度的平方根而增长。对于一般总体矩阵，我们将误差与特征值分布的方差相联系，但需要近似。在此框架下，在高维渐近情景中，持留方法和 $k$ 折交叉验证方法都收敛于当训练-测试比例随矩阵维度平方根比例缩放时的最优估计器，这与现有理论一致。