负序数的量化维数

我们研究是否可以为一个紧支撑的Borel概率度量定义具有意义的上、下量化维数，包括负序数的$r$。为此，我们使用分区函数的概念，这将$U^{q}$谱的思想推广，从而自然地扩展了[ M. Kesseb"ohmer, A. Niemann, 和 S. Zhu. Quantization dimensions of probability measures via R\'enyi dimensions. Trans. Amer. Math. Soc. 376.7 (2023)]中的工作。特别是，我们提供了自然的分形几何界限以及易于验证的存在必要条件。对于绝对连续度量的负序数量化误差的精确渐近行为被阐述，其中关于几何平均误差的开放问题来自[ S. Graf, H. Luschgy. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136, 3 (2004)]也得到肯定回答。