模 2 模形式：Hecke 算子的幂零阶（扩展版）

令 $\Delta= \sum_{m=0}^\infty q^{(2m+1)^2} \in \mathbb{F}_2[[q]]$ 为 $\Delta$ 级数的模 2 约化。级数为 1 的模 2 模形式 $f$ 是 $\Delta$ 中的一个多项式。若 $p$ 为奇素数，则 Hecke 算子 $T_p$ 将 $f$ 变换为模形式 $T_p(f)$，其为 $\Delta$ 中的多项式，且次数小于 $f$ 的次数，因此 $T_p$ 是幂零的。$f$ 的幂零阶定义为最小整数 $g=g(f)$，使得对于任意由 $g$ 个奇素数 $p_1,p_2,\ldots,p_g$ 组成的族，关系式 $T_{p_1}T_{p_2}\ldots T_{p_g}(f)=0$ 成立。我们展示了如何显式计算 $g(f)$；若 $f$ 是 $\Delta$ 中次数为 $d\geqslant 1$ 的多项式，则可得 $g(f) < \frac 32 \sqrt d$。