稀疏主成分分析的最优解

给定样本协方差矩阵，我们研究在约束线性组合中非零系数数量的前提下，最大化输入变量所解释方差的问题。这被称为稀疏主成分分析，在机器学习和工程中有着广泛的应用。我们为此问题构建了一种新的半定松弛形式，并推导出一套贪心算法，该算法能针对所有目标非零系数数量计算出一组完整的优质解，总复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为变量数量。随后，我们利用相同的松弛形式推导了解的全局最优性充分条件，该条件可针对每种模式在 $O(n^3)$ 时间内进行检验。我们讨论了其在子集选择和稀疏恢复中的应用，并通过人工示例和生物数据表明，我们的算法在许多情况下确实能提供全局最优解。