最优缓存无关网格布局

网格是将物理空间划分为规则形状区域的图。网格计算构成了许多应用的基础，例如有限元方法、图像渲染和碰撞检测。在一个称为网格更新的重要网格原语中，每个网格顶点存储一个值，并根据所有相邻顶点存储的值反复更新该值。网格更新的性能取决于网格在内存中的布局。本文展示了如何找到一种内存布局，以保证网格更新对于任何一组内存参数都具有渐近最优的内存性能。这种内存布局被称为缓存无关（cache-oblivious）。形式上，对于$d$维网格$G$、块大小$B$和缓存大小$M$（其中$M=\Omega(B^d)$），$G$的网格更新使用$O(1+|G|/B)$次内存传输。本文还展示了当缓存较小即$M=o(B^d)$时，网格更新性能如何下降。随后，本文给出了两种寻找缓存无关网格布局的算法。第一种布局算法在 RAM 模型上的期望运行时间和高概率运行时间均为$O(|G|\log^2|G|)$。在缓存无关模型和磁盘访问机（DAM）模型中，其期望内存传输次数为$O(1+|G|\log^2(|G|/M)/B)$，高概率内存传输次数为$O(1+(|G|/B)(\log^2(|G|/M) + \log|G|))$。该布局通过寻找$G$的完全平衡分解树，然后对该树的叶子节点进行中序遍历获得。第二种算法在所有三种内存模型中，无论是在期望还是高概率情况下，运行速度都快了将近$\log|G|/\log\log|G|$倍。该布局通过寻找$G$的松弛平衡分解树，然后对该树的叶子节点进行中序遍历获得。