R\'esolution du $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables d\'efinis dans un anneau

Dans ce papier, on r\'esout d'abord le $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables d\'efinis dans $\mathbb{C}^n$ priv\'e d'une boule $B$ de $\mathbb{C}^n$, ensuite dans une vari\'et\'e analytique complexe contractile $X$, enfin on le r\'esout pour un domaine $D=X\setminus\Omega$, o\`u $\Omega$ est un domaine born\'e de $X$ d\'efini par $\{z\in X\,\ /\,\ \varphi(z)<0\}$, (avec $\varphi$ une fonction d'exhaustion strictement plurisouharmonique). In this present paper, we first solve the $\partial\bar\partial$ for extendable currents definite in $\mathbb{C}^n\setminus B$, where $B$ is a ball of $\mathbb{C}^n$, then in a contractible analytic complex manifold $X$, and finally in a domain $D=X\setminus\Omega$ where $\Omega$ is a bounded domain of $X$ defined by $\{z\in X\,\ /\,\ \varphi(z)<0\}$, ($\varphi$ is an exhaution strictly plurisubharmonic function).